Aquest article tracta de la relació entre el llenguatge, la matemàtica i la ciència, entesa com l’augment del coneixement del món que ens envolta i, més específicament, del món de les coses fetes d’àtoms (Gràcies, senyor. Feynman!). Malgrat tot, aquest article té poca ciència i encara menys matemàtica. Per contra he utilitzat la resta del llenguatge àmpliament, procurant treure’n profit de tots els seus recursos. No he trobat cap altra manera. Només intentaré descriure l’aspecte que té aquesta relació, des del meu punt de vista. Com aquell que descriu, de lluny, l’aspecte d’un bosc immens, intricat i fascinant, sense entrar-hi i córrer el risc de perdre’s.
Tant la matemàtica com la ciència són fenòmens exclusivament humans, almenys de moment. Molts altres éssers vius dotats de cervell poden fer determinats càlculs senzills i poden comprendre alguns processos naturals. Però aquestes capacitats es diferencien de les humanes en el fet que no evolucionen. Les abelles, els corbs o els dofins, per exemple, tenen la mateixa capacitat matemàtica i científica ara que fa milions d’anys. En canvi, els dos-cents mil anys d’existència de l’autodenominat Homo sapiens han estat trepidants en aquest aspecte. Potser massa i tot.
"La matemàtica com la ciència són fenòmens exclusivament humans, almenys de moment"
L’evolució de qualsevol característica només és possible si es transmet de generació en generació. Però el coneixement no es pot transmetre genèticament (En cas contrari, el fill d’una metgessa i un metge podria néixer amb la carrera feta). Per tant, la ciència no va poder evolucionar ni augmentar el seu coneixement de manera continuada i eficaç fins que la humanitat no va disposar d’un mecanisme útil per transmetre-ho: el llenguatge.
Molts éssers vius tenen llenguatges diversos, extraordinaris i, de vegades, molt sofisticats. Els insectes, les aus o els mamífers es comuniquen entre ells. Però els lingüistes han definit algunes característiques atribuïbles només al llenguatge humà, que el fan diferent de tots els altres. No només quantitativament sinó qualitativament també. Quatre d’aquestes característiques són especialment interessants per al tema que ens ocupa:
● La productivitat és la capacitat de crear un nombre il·limitat de missatges combinant un nombre reduït d’elements: morfemes que es combinen per formar paraules que es combinen per formar frases, que es combinen per formar relats. Això implica la capacitat de crear noves frases, que no s’han produït mai i que són immediatament intel·ligibles pels receptors del missatge. Aquesta estructura recorda molt la del món físic: partícules que es combinen per formar àtoms que es combinen per formar molècules que es combinen per formar compostos. Així, el llenguatge humà és capaç de crear relats (Narracions, llegendes, teories, hipòtesis i jocs), només amb un límit: la coherència lògica bàsica amb la qual el llenguatge humà ve equipat de fàbrica.
● El desplaçament consisteix en la capacitat de referir-se a coses o esdeveniments que passen fora del moment i el lloc en els quals s’està parlant. Es pot parlar de coses del passat (Això implica una memòria susceptible de ser expressada lingüísticament) o de coses que suposem que passaran en el futur (Això implica molta imaginació). Es pot parlar de la feina a la feina, o fora de la feina. Es pot parlar del teu carrer, del teu barri, de la teva ciutat, del teu país, del planeta, de la Lluna, de Júpiter (El planeta o el déu), de la galàxia d’Andròmeda o del Big Bang. O de futbol. Després en parlarem una mica, de futbol.
● La prevaricació o dissimulació és la capacitat de parlar de coses inexistents o, més exactament, de qualsevol cosa que els parlants es puguin imaginar, o sigui, de qualsevol cosa que puguin construir amb el seu llenguatge. Es pot utilitzar per mentir (D’aquí el seu nom) però també es pot fer servir per expressar pronòstics sobre el futur o hipòtesis de qualsevol classe. Sense aquesta capacitat seria impossible crear llegendes, relats de ficció o intentar enganyar Hisenda, però tampoc s’hauria pogut inventar res ni desenvolupar cap teoria científica. La roda va haver de ser imaginada i explicada d’alguna manera abans de fer la primera. Les mans, per si soles, no l’haurien fet mai. (Excepte en el cas particular d’un temps infinit, però això només existeix en la nostra imaginació)
● La reflexivitat és la capacitat de fer servir el llenguatge per parlar del llenguatge mateix. La lingüística n’és un exemple. Aquesta característica permet l’evolució dels llenguatges humans, amb tot el que això implica. I també fa possible l'evolució de la matemàtica.
Com que aquestes quatre característiques són comunes a tots els llenguatges humans i, a més, són de franc, en faré un ampli ús d’elles en aquest article. La qüestió de quan i com va aparèixer aquest llenguatge humà, diferenciat de tots els altres llenguatges, és apassionant, genera moltes controvèrsies i no està resolta, però, en tot cas, va afectar dràsticament la vida d’aquesta espècie. Perquè, a partir d’aquell moment, va ser capaç de fer-se preguntes sobre el món que l’envolta (I sobre si mateix) sense cap límit. Va generar tota mena de respostes, també sense límit i va poder comprovar si aquestes respostes coincidien amb la realitat que es pot detectar amb els sentits. Va poder explicar a altres congèneres què pensava, quins fenòmens havia observat i a quines conclusions havia arribat. Va poder discutir tot això amb qui el volgués escoltar i va poder aprendre del coneixement d’altres. Quan, després de moltes llunes, va poder escriure el seu llenguatge a més de parlar-lo, la propagació i evolució del coneixement va ser imparable. Però, potser convindria recordar aquí que la naturalesa no funciona per objectius, sinó per conseqüències.
Possiblement, el llenguatge humà va ser la conseqüència d’un conjunt de mutacions, feliçment combinades, que van afectar diferents parts del cervell de l’Homo sapiens. En tot cas, aquestes mutacions no es van produir amb l’objectiu d’augmentar la capacitat lingüística i racional. Els humans es van trobar amb aquells canvis al seu cervell, els van engegar i van trobar que era útil i divertit. L’evolució va fer la resta. Em jugaria un sopar que el primer que van fer va ser explicar acudits, intentar enganyar-se els uns als altres i riure molt. Quan van descobrir que, amb determinades paraules, podien seduir-se els uns als altres, l’invent els va semblar fantàstic. A continuació van descobrir els insults, els xafardeigs, les esbroncades, els escàndols i ja no van saber viure sense el llenguatge. Després de l’eufòria inicial, quan les coses s’havien calmat una mica, algú va preguntar si s’havien fixat que les pedres, com més rodones, més lluny arribaven rodant muntanya avall. Així va començar tot: la geometria, la física, la matemàtica, la geologia i la tècnica. Tot això m’ho acabo d’inventar. No és sorprenent el que podem arribar a fer amb el llenguatge?
"Els déus, les pàtries i els diners tenen la mateixa rellevància que un gol en el món real, el món de les coses fetes d’àtoms"
Parlem de futbol. El futbol és un exemple de la capacitat que té el llenguatge de crear ficcions amb una força tan gran que acaben semblant reals. El fet que la trajectòria d’una pilota travessi el rectangle format per tres pals i el terra no té cap rellevància en el món real, però pocs conceptes estan més clars per a la ment humana que el del gol. Centenars de milers d’éssers humans criden gol a l’uníson, completament trasbalsats, o ploren desconsolats, quan això succeeix. Cap tragèdia dramàtica aconsegueix un efecte emocional semblant. D’altres relats imaginaris són encara més perillosos. Les religions, la política o l’economia han menat massa sovint a matances demencials entre milers d’éssers humans absolutament convençuts de què estaven lluitant per alguna causa molt important i profunda. Però, els déus, les pàtries i els diners tenen la mateixa rellevància que un gol en el món real, el món de les coses fetes d’àtoms. Afortunadament, els llenguatges es poden utilitzar també per altres qüestions.
Percebem el món real mitjançant els nostres sentits. La informació no ens arriba de manera classificada i ordenada, sinó més aviat com un flux turbulent i continu que inunda el nostre cervell. Treure conclusions adequades d’aquesta riuada d’informació és essencial per sobreviure. Distingir els missatges urgents dels que no ho són, decidir l’ordre de prioritat entre dos missatges urgents, ordenar els fets per establir possibles relacions entre ells, intentar preveure el comportament del món que ens envolta (això és ciència!) amb la màxima rapidesa i fiabilitat possibles. Quan l’ésser humà es va veure amb capacitat per crear llenguatges, conceptes, símbols i regles de relació, segurament va respirar alleugerit i va crear una variant especialitzada del llenguatge: la matemàtica. Bàsicament per poder parlar d’ordre, quantitats i relacions. I treure’n conclusions.
Des del meu punt de vista, la matemàtica és, per tant, una cosa que passa dins del nostre cervell, com qualsevol altre llenguatge. El fet que dues pomes més dues pomes siguin quatre pomes, no té res a veure amb les pomes, té a veure amb el dos. Dos és un símbol matemàtic lligat a un concepte abstracte, aplicable a qualsevol cosa real o imaginària. Dues fades més dues fades també són quatre fades. La matemàtica, com qualsevol altre llenguatge, s’ha anat ampliant i millorant al llarg del temps, aprofitant la característica lingüística de reflexivitat, la qual permet als éssers humans fer-se preguntes sobre la matemàtica des de dins la matemàtica. La formidable capacitat dels models matemàtics per descriure i calcular previsions de pràcticament qualsevol fenomen del món real provoca la sensació que el món real està construït matemàticament. En realitat, quan els humans volem comprendre el món real, ens fem preguntes adaptables als models matemàtics que hem creat nosaltres mateixos (O alguns de nosaltres, tampoc ens estarrufem massa) al llarg de la història i que hem anat millorant, refinant, i modificant per fer-los més útils i potents. No és cap miracle que el model funcioni. És evolució.
Un model matemàtic es relaciona només amb la matemàtica, no amb el món real. Quan es vol utilitzar per calcular fenòmens del món real s’han d’introduir alguns axiomes. Aquests axiomes poden adaptar-se al coneixement científic, o no. Fins i tot poden contradir-lo. Imaginem un model que prengui com axioma que la Terra és al centre de l’univers i que tots els cossos celestes estan situats en una esfera concèntrica amb la Terra. Llavors, s’efectuen determinades observacions del món real (Altura d’alguns astres sobre l’horitzó i azimut dels astres en el moment de l’observació), es realitzen determinats càlculs i s’obté la posició de l’observador sobre la Terra. Aquest model existeix. Es va desenvolupar durant segles i s’ha fet servir per calcular la situació dels vaixells al mig de l’oceà, sense cap altre punt de referència, amb una fiabilitat comprovada per generacions de navegants.
"Un model matemàtic es relaciona només amb la matemàtica, no amb el món real"
Un dels models matemàtics més fascinants per la seva bellesa i elegància és la geometria d’Euclides (Hi ha una curiosa relació entre l’estètica i la matemàtica). Cinc axiomes i cinc postulats suporten un model encara vigent per moltes qüestions pràctiques dos mil tres-cents anys més tard i que, a més, ha engendrat descendència. Però, com qualsevol altra estructura lingüística, el model d’Euclides resideix dins del nostre cervell, no fora. L’espai euclidià, el lloc on es desenvolupa el relat d’Euclides, no és físic, no està fet d’àtoms. Està fet d’un concepte imaginari que són els punts geomètrics. Totes les coses que habiten l’espai euclidià estan fetes de punts geomètrics.
I aquests punts tenen una característica molt particular: entre dos punts qualsevol sempre hi ha punts infinits. Si l’espai euclidià estigués fet d’àtoms, això seria impossible. Entre dos àtoms qualssevol no pot haver-hi mai àtoms infinits. Però l’espai euclidià està fet per poder deixar anar lliurement la nostra imaginació. És la mateixa pissarra immensa on dibuixem rectes, corbes, sòlids platònics o notes musicals. És on Arquimedes va dibuixar el seu cargol abans de construir-lo i Galileu va esbossar les seves trajectòries. On Kepler va imaginar les seves òrbites el·líptiques i Newton les forces gravitatòries i el concepte de límit. On els arquitectes dibuixen els seus plànols i els navegants les seves cartes nàutiques. Però, sobretot, és on dibuixem la recta dels nombres reals. Per això podem afirmar que entre dos nombres reals hi ha sempre nombres infinits reals.
Quan dibuixem un cercle amb un compàs sobre un paper, aquest cercle és real, està fet d’àtoms (De grafit, de tinta o del que sigui) i el paper també està fet d’àtoms. Sí, però nosaltres sabem que estem dibuixant un símbol. El símbol d’un cercle perfecte, de curvatura constant, impertorbable, que habita l’espai euclidià i, per tant, està fet de punts geomètrics. També sabem que, si observéssim el cercle que hem dibuixat amb un microscopi electrònic de resolució atòmica, veuríem uns grapats d’àtoms de grafit escampats entre els àtoms del paper, traçant una trajectòria vagament corbada. Res que s’assembli a un cercle com Déu (O, almenys, Euclides) mana.
"Quan dibuixem un cercle amb un compàs sobre un paper, aquest cercle és real, està fet d’àtoms i el paper també està fet d’àtoms"
De què està fet π, doncs? Aquest nombre irracional, transcendent, fascinant i venerable (Els babilonis i els egipcis ja en parlaven fa més de 4.000 anys) que expressa la relació constant entre el perímetre i el diàmetre d’una circumferència, sense el qual ens costaria molt expressar matemàticament el món real. π apareix no només a les equacions geomètriques sinó també, per exemple, a les equacions de camp d’Einstein, a la tercera llei de Kepler o a la llei de Coulomb i a tots els fenòmens que es puguin expressar amb cercles, segments de cercles, sinusoides o cicloides. Encara més enigmàtic: H. Stølum, professor de geologia a Cambridge, afirma que la raó entre la longitud real dels rius i la distància en línia recta des del naixement fins a la seva desembocadura tendeix a π! Encara que no és l’única constant que utilitzem per matematitzar el món real, ni potser la més transcendental, π és jeràrquicament la més important i popular. No pretenc que l’Homo sapiens cridi el seu nom amb el mateix fervor que crida gol!, però estaria bé que fos conscient que les dues coses són producte de la seva portentosa imaginació.
π està fet de punts geomètrics i habita l’espai euclidià, amb les paràboles, les hipèrboles, els sòlids platònics i els cercles perfectes, de curvatura constant, fets també de punts geomètrics, que guarden l’eterna raó constant entre el seu perímetre i el seu diàmetre. Defora està el món real, fet d’àtoms, on res és perfecte, infinit ni etern, ni tan sols els cercles materials, els quals, com que estan fets d’àtoms, no poden assolir la curvatura constant ni expressar la raó entre el seu perímetre i diàmetre amb un nombre irracional. Com a molt, depenent de l’escala utilitzada, amb un milió de decimals n’hi ha prou.